SQLite3への接続には、PHP5.1から標準で搭載されているPDOを利用します。PDOのようにデータベースへのアクセス方法を共通化する「データベース抽象化レイヤ」には、他にPEAR::DBなどもありますが、なんといって標準で利用できることから、PDOを採用しています。PDOのSQLite3ドライバはデフォルトで有効になっているので、普通はそのままで利用できる状態ですが、サンプルファイルがうまく動かない場合は、まずphpinfo()を出力して確認してください。
以下のようにphpinfo()のみのPHPファイル（myinfo.php）をドキュメントルート配下の適当な場所に配置し、ブラウザでアクセスすると出力結果を確認できます。
myinfo.php
<?php
phpinfo();
?>
phpinfo()の出力結果のなかから、以下のようなPDOの部分を探し、PDO drivers に「sqlite」と出力されているか確認してください。ここで、単にsqliteと表示されている場合は、sqlite3ドライバが有効になっていることを示します。sqlite2の場合には、sqlite2と表示されます。
さらに、以下のようなsqlite3の部分で、バージョンが3.7.7.1であることが確認できます。
Linuxのディストリビューションによっては、PDOがインストールされていない場合があります。その場合には、PDOをインストールし、Apacheを再起動した後に、再度phpinfo()を確認してください。例えば、CentOS6では、以下のようにPDOをインストールします。
yum install php-pdo
PDOをインストールしただけで、有効にならなかった場合は、さらにphp.iniおよびモジュールディレクトリ（例：/usr/lib64/php/modules/）を確認してください。